L8_05 代数与平面几何

一、一元一次方程

1.1 一元一次方程定义

一元一次方程的一般形式：ax + b = 0

1.2 解方程

cpp

// 求解 ax + b = 0
double solveLinearEquation(double a, double b) {
    if (a == 0) {
        // 无解或无穷多解
        if (b == 0) {
            // 无穷多解
            return 0; // 特殊标记
        } else {
            // 无解
            return NAN;
        }
    }
    return -b / a;
}

1.3 应用：求直线交点

cpp

// 两条直线的交点
// 直线1: a1*x + b1*y = c1
// 直线2: a2*x + b2*y = c2
pair<double, double> lineIntersection(double a1, double b1, double c1,
                                      double a2, double b2, double c2) {
    double det = a1 * b2 - a2 * b1;
    
    if (det == 0) {
        // 平行或重合
        return {NAN, NAN};
    }
    
    double x = (b2 * c1 - b1 * c2) / det;
    double y = (a1 * c2 - a2 * c1) / det;
    
    return {x, y};
}

二、二元一次方程组

2.1 二元一次方程组定义

cpp

// 方程组:
// a1*x + b1*y = c1
// a2*x + b2*y = c2

2.2 高斯消元法求解

cpp

// 求解二元一次方程组
bool solveLinearSystem(double a1, double b1, double c1,
                       double a2, double b2, double c2,
                       double& x, double& y) {
    double det = a1 * b2 - a2 * b1;
    
    if (det == 0) {
        // 无解或无穷多解
        return false;
    }
    
    x = (b2 * c1 - b1 * c2) / det;
    y = (a1 * c2 - a2 * c1) / det;
    
    return true;
}

2.3 矩阵形式求解

cpp

// 使用矩阵求逆求解
bool solveLinearSystemMatrix(double a1, double b1, double c1,
                            double a2, double b2, double c2,
                            double& x, double& y) {
    double det = a1 * b2 - a2 * b1;
    
    if (det == 0) return false;
    
    // 逆矩阵
    double inv_a = b2 / det;
    double inv_b = -b1 / det;
    double inv_c = -a2 / det;
    double inv_d = a1 / det;
    
    x = inv_a * c1 + inv_b * c2;
    y = inv_c * c1 + inv_d * c2;
    
    return true;
}

三、三角形面积

3.1 底乘高公式

cpp

double triangleAreaBaseHeight(double base, double height) {
    return 0.5 * base * height;
}

3.2 海伦公式

cpp

double triangleAreaHeron(double a, double b, double c) {
    double s = (a + b + c) / 2;
    return sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c));
}

3.3 向量叉积公式

cpp

struct Point {
    double x, y;
    Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
};

double triangleAreaCross(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {
    double cross = (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (b.y - a.y) * (c.x - a.x);
    return fabs(cross) / 2;
}

3.4 鞋带公式（多边形面积）

cpp

double polygonArea(const vector<Point>& points) {
    double area = 0;
    int n = points.size();
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int j = (i + 1) % n;
        area += points[i].x * points[j].y;
        area -= points[j].x * points[i].y;
    }
    
    return fabs(area) / 2;
}

四、圆形面积

4.1 基本公式

cpp

double circleArea(double radius) {
    return M_PI * radius * radius;
}

4.2 圆环面积

cpp

double annulusArea(double outerRadius, double innerRadius) {
    return M_PI * (outerRadius * outerRadius - innerRadius * innerRadius);
}

4.3 扇形面积

cpp

// angle: 圆心角（弧度）
double sectorArea(double radius, double angle) {
    return 0.5 * radius * radius * angle;
}

4.4 圆弧长度

cpp

double arcLength(double radius, double angle) {
    return radius * angle;
}

五、长方形面积

5.1 基本公式

cpp

double rectangleArea(double width, double height) {
    return width * height;
}

5.2 矩形周长

cpp

double rectanglePerimeter(double width, double height) {
    return 2 * (width + height);
}

5.3 正方形对角线

cpp

double squareDiagonal(double side) {
    return side * sqrt(2);
}

六、几何计算综合应用

6.1 点到直线的距离

cpp

// 直线: ax + by + c = 0
double pointToLineDistance(double x, double y, double a, double b, double c) {
    return fabs(a * x + b * y + c) / sqrt(a * a + b * b);
}

6.2 点到线段的距离

cpp

double pointToSegmentDistance(const Point& p, const Point& a, const Point& b) {
    double dx = b.x - a.x;
    double dy = b.y - a.y;
    double t = ((p.x - a.x) * dx + (p.y - a.y) * dy) / (dx * dx + dy * dy);
    
    t = max(0.0, min(1.0, t));
    
    double nearestX = a.x + t * dx;
    double nearestY = a.y + t * dy;
    
    double distX = p.x - nearestX;
    double distY = p.y - nearestY;
    
    return sqrt(distX * distX + distY * distY);
}

6.3 判断点是否在多边形内（射线法）

cpp

bool pointInPolygon(const Point& p, const vector<Point>& polygon) {
    int n = polygon.size();
    bool inside = false;
    
    for (int i = 0, j = n - 1; i < n; j = i++) {
        Point pi = polygon[i];
        Point pj = polygon[j];
        
        if (((pi.y > p.y) != (pj.y > p.y)) &&
            (p.x < (pj.x - pi.x) * (p.y - pi.y) / (pj.y - pi.y) + pi.x)) {
            inside = !inside;
        }
    }
    
    return inside;
}

6.4 判断两条线段是否相交

cpp

int orientation(const Point& p, const Point& q, const Point& r) {
    double val = (q.y - p.y) * (r.x - q.x) - (q.x - p.x) * (r.y - q.y);
    if (val == 0) return 0;  // 共线
    return (val > 0) ? 1 : 2; // 顺时针或逆时针
}

bool segmentsIntersect(const Point& a1, const Point& a2, const Point& b1, const Point& b2) {
    int o1 = orientation(a1, a2, b1);
    int o2 = orientation(a1, a2, b2);
    int o3 = orientation(b1, b2, a1);
    int o4 = orientation(b1, b2, a2);
    
    // 一般情况
    if (o1 != o2 && o3 != o4) return true;
    
    // 特殊情况（共线）
    // 检查点是否在线段上
    auto onSegment = [](const Point& p, const Point& q, const Point& r) {
        return q.x <= max(p.x, r.x) && q.x >= min(p.x, r.x) &&
               q.y <= max(p.y, r.y) && q.y >= min(p.y, r.y);
    };
    
    if (o1 == 0 && onSegment(a1, b1, a2)) return true;
    if (o2 == 0 && onSegment(a1, b2, a2)) return true;
    if (o3 == 0 && onSegment(b1, a1, b2)) return true;
    if (o4 == 0 && onSegment(b1, a2, b2)) return true;
    
    return false;
}

6.5 凸包（Graham扫描法）

cpp

Point pivot;

double distanceSquared(const Point& a, const Point& b) {
    double dx = a.x - b.x;
    double dy = a.y - b.y;
    return dx * dx + dy * dy;
}

int compare(const Point& a, const Point& b) {
    int o = orientation(pivot, a, b);
    if (o != 0) return o == 2 ? -1 : 1;
    return distanceSquared(pivot, a) < distanceSquared(pivot, b) ? -1 : 1;
}

vector<Point> convexHull(vector<Point> points) {
    int n = points.size();
    if (n <= 1) return points;
    
    // 找到最左下角的点
    int minIdx = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (points[i].y < points[minIdx].y || 
            (points[i].y == points[minIdx].y && points[i].x < points[minIdx].x)) {
            minIdx = i;
        }
    }
    
    swap(points[0], points[minIdx]);
    pivot = points[0];
    
    sort(points.begin() + 1, points.end(), compare);
    
    vector<Point> hull;
    hull.push_back(points[0]);
    hull.push_back(points[1]);
    
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        while (hull.size() >= 2 && orientation(hull[hull.size() - 2], hull.back(), points[i]) != 2) {
            hull.pop_back();
        }
        hull.push_back(points[i]);
    }
    
    return hull;
}

七、几何公式总结

图形	面积公式	周长/长度公式
三角形	0.5 × 底 × 高	a + b + c
圆形	πr²	2πr
扇形	0.5r²θ	rθ + 2r
矩形	长 × 宽	2(长 + 宽)
正方形	a²	4a
梯形	0.5(a + b)h	a + b + c + d

L8_05 代数与平面几何 ​

一、一元一次方程 ​

1.1 一元一次方程定义 ​

1.2 解方程 ​

1.3 应用：求直线交点 ​

二、二元一次方程组 ​

2.1 二元一次方程组定义 ​

2.2 高斯消元法求解 ​

2.3 矩阵形式求解 ​

三、三角形面积 ​

3.1 底乘高公式 ​

3.2 海伦公式 ​

3.3 向量叉积公式 ​

3.4 鞋带公式（多边形面积） ​

四、圆形面积 ​

4.1 基本公式 ​

4.2 圆环面积 ​

4.3 扇形面积 ​

4.4 圆弧长度 ​

五、长方形面积 ​

5.1 基本公式 ​

5.2 矩形周长 ​

5.3 正方形对角线 ​

六、几何计算综合应用 ​

6.1 点到直线的距离 ​

6.2 点到线段的距离 ​

6.3 判断点是否在多边形内（射线法） ​

6.4 判断两条线段是否相交 ​

6.5 凸包（Graham扫描法） ​

七、几何公式总结 ​

L8_05 代数与平面几何

一、一元一次方程

1.1 一元一次方程定义

1.2 解方程

1.3 应用：求直线交点

二、二元一次方程组

2.1 二元一次方程组定义

2.2 高斯消元法求解

2.3 矩阵形式求解

三、三角形面积

3.1 底乘高公式

3.2 海伦公式

3.3 向量叉积公式

3.4 鞋带公式（多边形面积）

四、圆形面积

4.1 基本公式

4.2 圆环面积

4.3 扇形面积

4.4 圆弧长度

五、长方形面积

5.1 基本公式

5.2 矩形周长

5.3 正方形对角线

六、几何计算综合应用

6.1 点到直线的距离

6.2 点到线段的距离

6.3 判断点是否在多边形内（射线法）

6.4 判断两条线段是否相交

6.5 凸包（Graham扫描法）

七、几何公式总结