第2章 数据编码

🎯 本章学习目标

学完本章，你将能够：

1. 理解计算机采用二进制存储数据的原因，以及符号位的含义
2. 区分机器数与真值的概念，避免把符号位当数值位计算
3. 掌握原码、反码、补码的定义与相互转换方法
4. 熟练手算给定十进制数的 8 位/16 位补码
5. 熟练已知补码反求真值（十进制数）
6. 理解补码的三大优势：减法变加法、零的表示唯一、多一个最小负数
7. 记住 n 位补码的表示范围：-2^(n-1) ~ 2^(n-1)-1
8. 掌握溢出的判断方法：同号相加结果变号则溢出
9. 理解 signed 与 unsigned 的区别，以及 char 类型的符号性问题
10. 了解用 C++ 的 bitset 验证和输出二进制编码（拓展内容）

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🗺️ 本章知识图谱

数据编码（原码、反码、补码）
├── 基本概念
│   ├── 计算机内部是二进制
│   ├── 机器数 vs 真值
│   └── 符号位（0正1负）
├── 原码
│   ├── 定义：符号位 + 绝对值
│   ├── 问题一：0有两种表示（+0和-0）
│   └── 问题二：加减法运算复杂
├── 反码
│   ├── 正数：同原码
│   ├── 负数：符号位不变，数值位取反
│   └── 地位：原码转补码的中间桥梁
├── 补码 ⭐（核心）
│   ├── 正数：三码合一
│   ├── 负数：反码 + 1
│   ├── 三大优势
│   │   ├── 减法变加法（统一用加法器）
│   │   ├── 零的表示唯一
│   │   └── 多一个最小负数（-128）
│   ├── 表示范围：-2^(n-1) ~ 2^(n-1)-1
│   ├── 快速求法：从右数第一个1左边取反
│   └── 已知补码求真值：再求补得原码
├── 溢出判断
│   ├── 同号相加结果变号 → 溢出
│   └── 异号相加永远不溢出
└── C++ 中的编码
    ├── signed vs unsigned
    ├── char 的符号性由平台决定
    └── bitset 查看二进制（拓展）

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一、为什么需要数据编码？

1.1 计算机只认识 0 和 1

计算机的硬件电路只有"高电平"和"低电平"两种状态，因此所有数据在计算机内部都以二进制存储。数字 5 在 8 位二进制中写作 0000 0101，这很好理解——可负数怎么办？数字前面可没有"负号键"。

科学家们想到一个办法：用最高位充当符号位。

• 最高位为 0，表示正数
• 最高位为 1，表示负数

由此引出两个概念：

概念	含义	举例
机器数	一个数在计算机中的二进制表示形式（带符号位）	-5 的机器数是 1000 0101
真值	机器数真正表示的十进制数值（要考虑符号位）	1000 0101 的真值是 -5，不是 133

⚠️ 易错点： 机器数的最高位是符号位，不能当普通数值位算！1000 0101 直接按二进制算是 133，但它的真值是 -5。考试中经常在这里挖坑。

1.2 三种编码方案

为了让负数既能被表示、又能正确参与运算，人们先后设计了三种编码：

• 原码：最直观，符号位 + 数值的绝对值
• 反码：原码与补码之间的"桥梁"
• 补码：现代计算机实际使用的编码 🎯

下面逐一拆解。

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二、原码：最直观的表示法

2.1 定义

原码：最高位为符号位（0 正 1 负），其余位表示数值绝对值的二进制。

以 8 位为例：

+5 的原码： 0 000 0101
            ↑
          符号位0，表示正数

-5 的原码： 1 000 0101
            ↑
          符号位1，表示负数

2.2 原码的两个致命问题

问题一：0 有两个原码

+0 的原码：0000 0000
-0 的原码：1000 0000

数学上 0 不分正负，但原码里却有两个"0"，既浪费编码又给判断带来麻烦。

问题二：直接做加减法会出错

用原码计算 1 + (-1)：

  0000 0001   （+1 的原码）
+ 1000 0001   （-1 的原码）
-----------
  1000 0010   = -2  ❌ 结果居然是 -2！

符号位参与运算导致结果完全错误。若要让原码正确做减法，硬件需要额外判断符号、比较绝对值大小，电路设计十分复杂。

🔥 高频考点： 原码的优点是人眼直观、转换方便；缺点是 0 有两种表示、加减法运算规则复杂。8 位原码的表示范围是 -127 ~ +127（注意没有 -128）。

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三、反码：承上启下的过渡编码

3.1 定义

• 正数的反码 = 原码（不变）
• 负数的反码：符号位保持 1 不变，其余数值位按位取反（0 变 1，1 变 0）

以 8 位 -5 为例：

-5 的原码： 1 000 0101
              ↓ 数值位逐位取反
-5 的反码： 1 111 1010

正数 +5 的反码则与原码完全相同：0000 0101。

3.2 反码的小练习

十进制	原码（8位）	反码（8位）
+7	0000 0111	0000 0111
-7	1000 0111	1111 1000
+1	0000 0001	0000 0001
-1	1000 0001	1111 1110

反码同样存在 +0（0000 0000）和 -0（1111 1111）两个零，而且用反码做 1 + (-1)：

  0000 0001
+ 1111 1110
-----------
  1111 1111   = -0   （结果是个"负零"，需要额外处理）

⚠️ 易错点： 反码在现代计算机中并不直接用于存储和运算，它只是原码转补码过程中的中间产物。考试若问"计算机中整数实际采用什么编码"，答案永远是补码。

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四、补码：计算机真正使用的编码 ⭐⭐⭐⭐⭐

4.1 定义

• 正数的补码 = 原码（三码合一）
• 负数的补码 = 反码 + 1（即：符号位不变，数值位取反后再加 1）

以 8 位 -5 为例完整走一遍：

第1步 写原码：  1 000 0101   （-5）
第2步 求反码：  1 111 1010   （数值位取反）
第3步 反码+1：  1 111 1011   （-5 的补码）✅

4.2 补码的三大优势

优势一：加减法统一，减法变加法

用补码计算 1 + (-1)：

  0000 0001    （+1 的补码）
+ 1111 1111    （-1 的补码）
-----------
1 0000 0000    （最高位产生进位，超出8位直接丢弃）
= 0000 0000    = 0  ✅ 完美！

CPU 只需一个加法器就能同时处理加法和减法，硬件大大简化。

优势二：0 的表示唯一

-0 的补码怎么求？反码 1111 1111 加 1 得到 1 0000 0000，进位丢弃后就是 0000 0000，和 +0 完全相同！

优势三：多出一个编码 -128

既然 1000 0000 不再浪费在"-0"身上，就用它表示补码中最小的负数 -128（8 位下 -128 没有对应的原码和反码，是补码"专属"的数）。

🔥 高频考点： n 位补码的表示范围是 -2ⁿ⁻¹ ~ 2ⁿ⁻¹ - 1。

• 8 位补码：-128 ~ 127
• 16 位补码：-32768 ~ 32767
• 32 位补码（常见的 int）：约 -21 亿 ~ 21 亿

负数比正数多一个，这是补码独有的特点！

4.3 生活中的补码思想：调钟表

为什么"取反加一"这么神奇？可以用钟表理解：钟面一圈 12 个小时（模为 12），从 8 点调到 6 点，既可以逆时针拨 2 小时（8 - 2 = 6），也可以顺时针拨 10 小时（8 + 10 = 18，18 mod 12 = 6）。

也就是说，在模 12 的系统里，-2 和 +10 等价。8 位二进制的模是 2⁸ = 256，所以 -5 和 +251 等价——而 251 的二进制正是 1111 1011，这就是 -5 的补码！

4.4 负数补码的快速求法

除了"取反加一"，还有一个更快的手算技巧：

从右往左找到第一个 1，这个 1 及其右边的 0 保持不变，左边的所有数值位逐位取反，符号位始终为 1。

例：求 -5 的补码，原码数值位 000 0101：

1 000 0101
       ↑ 从右数第一个1
1 111 1011   ← 该1及其右侧不变，左侧数值位取反

结果与"取反加一"完全一致。

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五、三种编码对比大表

5.1 8 位编码对照表

十进制真值	原码	反码	补码
+7	0000 0111	0000 0111	0000 0111
-7	1000 0111	1111 1000	1111 1001
+5	0000 0101	0000 0101	0000 0101
-5	1000 0101	1111 1010	1111 1011
+1	0000 0001	0000 0001	0000 0001
-1	1000 0001	1111 1110	1111 1111
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111	0000 0000（进位丢弃）
-128	❌ 无法表示	❌ 无法表示	1000 0000（补码专属）

5.2 16 位编码示例

十进制真值	原码	反码	补码
+5	0000 0000 0000 0101	同原码	同原码
-5	1000 0000 0000 0101	1111 1111 1111 1010	1111 1111 1111 1011
+32767	0111 1111 1111 1111	同原码	同原码
-32768	❌	❌	1000 0000 0000 0000

🔥 记忆口诀： 正数"三码合一"；负数"原码看绝对值，反码数值位取反，补码反码再加一"。

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六、已知补码，如何求原码和真值？

考试常反过来考：给你一个补码，问它表示的十进制数是多少。

6.1 正数：补码即原码

符号位为 0，直接把数值位转成十进制即可。如补码 0000 0111 → 真值 +7。

6.2 负数：两种方法

方法一：逆运算（补码减 1 得反码，再取反得原码）

补码 1111 1011
  减1 → 1111 1010（反码）
  数值位取反 → 1000 0101（原码）= -5

方法二：对补码再求一次补（推荐！）

补码的补码就是原码。 对负数补码的数值位再次"取反加 1"，符号位不变，直接得到原码。

补码     1 111 1011
数值位取反 1 000 0100
加1      1 000 0101  = -5 ✅

6.3 特殊值

• 补码 1000 0000 的真值是 -128（不要按原码规则算成 -0！）
• 补码 1111 1111 的真值是 -1

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七、典型考题类型

7.1 题型一：给定十进制数，求补码

例： 求 -13 的 8 位补码。

13 = 8+4+1 = 0000 1101
原码：1000 1101
反码：1111 0010
补码：1111 0011  ✅

7.2 题型二：补码表示范围

例： 8 位补码能表示多少个不同的整数？

答：-128 ~ 127 共 256 个，正好把 2⁸ 个编码全部用完，没有浪费。

7.3 题型三：溢出判断

🔥 高频考点： 两个同号数相加，若结果符号与它们相反，则发生溢出；异号相加永远不会溢出。

例： 8 位补码下计算 127 + 1：

  0111 1111   （+127）
+ 0000 0001   （+1）
-----------
  1000 0000   （符号位变成1！按补码解释为 -128）

两个正数相加竟得出负数——这就是溢出。同理 -128 - 1 也会溢出得到 +127。

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八、C++ 中的编码：signed、unsigned 与 char

📚 拓展 · 超纲：本节用到的 bitset 属于 C++ 标准库容器，不在三级考纲范围内。这里仅把它当作"把内存中的二进制打出来看"的演示工具，帮助理解补码；考试不会考查 bitset 的用法，读者了解即可。

C++ 中的整数类型在主流编译器下一律采用补码存储。我们可以用 C++11 的 bitset 把内存中的二进制"打"出来验证。

8.1 打印二进制，验证原反补

#include <iostream>
#include <bitset>   // bitset 所在头文件
using namespace std;

int main() {
    // 计算机中整数直接以补码存储，bitset<8> 取低8位显示
    int a = 5;
    int b = -5;
    cout << "+5 在内存中的8位二进制: " << bitset<8>(a) << endl;
    // 输出：00000101（正数三码合一）
    cout << "-5 在内存中的8位二进制: " << bitset<8>(b) << endl;
    // 输出：11111011（正是 -5 的补码）

    // 手工演示原码 -> 反码 -> 补码的推导过程
    // 注意：`0b` 前缀是 C++14 引入的特性，
    // 部分老旧环境（甚至 C++98）下 `0b` 写法编译不通过。
    int yuanma = 0b10000101;  // -5 的原码：符号位1 + 数值5
    int fanma  = 0b11111010;  // -5 的反码：符号位不变，数值位取反
    int buma   = 0b11111011;  // -5 的补码：反码 + 1
    cout << "原码: " << bitset<8>(yuanma) << endl;  // 10000101
    cout << "反码: " << bitset<8>(fanma)  << endl;  // 11111010
    cout << "补码: " << bitset<8>(buma)   << endl;  // 11111011

    return 0;
}

8.2 验证补码"减法变加法"

#include <iostream>
#include <bitset>
using namespace std;

int main() {
    // 1 + (-1)：补码相加，进位丢弃后结果为 0
    int x = 1, y = -1;
    cout << x << " + (" << y << ") = " << x + y << endl;  // 0
    cout << bitset<8>(x) << " + " << bitset<8>(y)
         << " = " << bitset<8>(x + y) << endl;
    // 00000001 + 11111111 = 00000000（第9位的进位被丢弃）

    // 5 - 3 在硬件中就是 5 + (-3)
    cout << "5 + (-3) = " << 5 + (-3) << endl;  // 2
    return 0;
}

8.3 signed 与 unsigned：同一串 0/1，两种解读

1111 1111 这 8 位，按有符号补码解释是 -1，按无符号解释是 255。类型决定了编码的含义！

#include <iostream>
#include <climits>
using namespace std;

int main() {
    // 同样的 8 位二进制 11111111
    signed char   sc = (signed char)255;   // 有符号：按补码解释
    unsigned char uc = 255;                // 无符号：全部是数值位
    cout << "signed char 解释 11111111:   " << (int)sc << endl;  // -1
    cout << "unsigned char 解释 11111111: " << (int)uc << endl;  // 255

    // 溢出演示：127 + 1（主流编译器下得到 -128，属于未定义/实现相关行为，考试按补码规则推断）
    // 注意：有符号整数溢出是未定义行为（UB），不同编译器/平台结果可能不同！
    // 以下代码仅为演示"在主流编译器下观察到补码回绕现象"，不属于可移植代码。
    signed char c = 127;
    c = c + 1;
    cout << "signed char: 127 + 1 = " << (int)c << endl;  // -128，溢出！

    // char 的符号性由编译器/平台决定，移植代码时要小心
    cout << "当前平台 char 范围: " << CHAR_MIN << " ~ " << CHAR_MAX << endl;
    cout << "signed char 范围:   " << SCHAR_MIN << " ~ " << SCHAR_MAX << endl;  // -128 ~ 127
    cout << "unsigned char 范围: 0 ~ " << UCHAR_MAX << endl;                    // 0 ~ 255
    return 0;
}

⚠️ 易错点： char 到底是有符号还是无符号，由编译器和平台决定（x86 上的 GCC 默认为有符号）；而 signed char 一定是 -128~127，unsigned char 一定是 0~255。三级考试中常考"同样的位模式在不同类型下的值"。

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九、📝 实战练习

以下 8 道题覆盖数据编码的核心考点。建议先独立完成，再对照解析查漏补缺。

练习题 1（单选题）

题目： 十进制数 -13 的 8 位二进制补码是（ ）

A. 1000 1101　　B. 1111 0010　　C. 1111 0011　　D. 0111 0011

🔑 点击查看答案与解析

答案： C

解析：

13 = 8 + 4 + 1 = 0000 1101
-13 原码：1000 1101（符号位为1）
数值位取反：1111 0010（反码）
反码 +1：  1111 0011（补码）✅

• A 是 -13 的原码，B 是 -13 的反码，都是经典干扰项；
• D 符号位为 0，表示正数，直接排除。

选 C。

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练习题 2（单选题）

题目： 8 位二进制补码 1011 0110 表示的十进制真值是（ ）

A. -74　　B. -54　　C. 74　　D. 182

🔑 点击查看答案与解析

答案： A

解析： 符号位为 1，是负数补码，需要"再求一次补"得到原码：

补码：     1 011 0110
数值位取反：1 100 1001
加1：      1 100 1010  ← 原码

数值位 100 1010 = 64 + 8 + 2 = 74，加上符号位，真值为 -74。

注意：若把 1011 0110 误当作原码直接读，会得到 -54（即选项 B），这是最容易掉的坑！务必先看清题目问的是原码还是补码。

选 A。

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练习题 3（单选题）

题目： 下列关于 8 位二进制编码的说法，正确的有（ ）

① 8 位补码能表示的整数范围是 -128 ~ 127 ② 补码中 0 有 0000 0000 和 1111 1111 两种表示 ③ 在 8 位补码下计算 127 + 1，结果为 -128，发生了溢出 ④ C++ 中 char 类型在所有平台上都一定是有符号的

A. ①②　　B. ①③　　C. ②④　　D. ①③④

🔑 点击查看答案与解析

答案： B

解析：

• ① 正确 ✅：n 位补码范围 -2ⁿ⁻¹ ~ 2ⁿ⁻¹-1，8 位即 -128 ~ 127。
• ② 错误 ❌：补码最大的优点就是 0 的表示唯一（0000 0000）；1111 1111 是 -1 的补码。有两个 0 的是原码和反码。
• ③ 正确 ✅：0111 1111 + 0000 0001 = 1000 0000，两个正数相加得出负数（-128），符合同号相加结果变号的溢出判定规则。
• ④ 错误 ❌：char 的符号性由编译器/平台决定，并不保证所有平台都有符号；想明确范围应使用 signed char 或 unsigned char。

选 B（①③）。

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练习题 4（填空题）

题目：

(1) 8 位补码能表示的最小整数是 ______，最大整数是 ______，共能表示 ______ 个不同的整数。 (2) 16 位补码能表示的整数范围是 ______ ~ ______。 (3) 补码 1000 0000（8位）的真值是 ______。

🔑 点击查看答案与解析

答案： (1) -128、127、256 (2) -32768 ~ 32767 (3) -128

解析：

• (1) n 位补码的范围是 -2^(n-1) ~ 2^(n-1)-1。8 位即 -2^7 ~ 2^7-1 = -128 ~ 127。总个数 = 2^8 = 256 个（128 个负数 + 1 个零 + 127 个正数 = 256）。
• (2) 16 位补码：-2^15 ~ 2^15-1 = -32768 ~ 32767。
• (3) 1000 0000 是补码中最小负数 -128 的编码，它没有对应的原码和反码，是补码"专属"的数。千万不要按原码理解成 -0！

🔥 记忆口诀：n 位补码，"负半边"比"正半边"多一个——因为 0 占了正半边的一个位置，而负半边没有正零的对应物。

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练习题 5（判断题）

题目： 判断下列说法是否正确，正确打"√"，错误打"×"。

(1) 正数的原码、反码、补码完全相同。（ ） (2) 8 位原码能表示的范围是 -128 ~ 127。（ ） (3) 补码中 0 的表示是唯一的。（ ） (4) 两个负数相加，结果符号位为 0，说明发生了溢出。（ ） (5) C++ 中 char 类型在所有平台上都是有符号的。（ ） (6) -1 的 8 位补码是 1111 1111。（ ）

🔑 点击查看答案与解析

答案： (1) √　(2) ×　(3) √　(4) √　(5) ×　(6) √

解析：

• (1) √：正数"三码合一"，这是基础结论。
• (2) ×：-128 ~ 127 是补码的范围。8 位原码的范围是 -127 ~ 127（-0 浪费了一个编码）。
• (3) √：补码最大的优点之一就是零的表示唯一（0000 0000）。
• (4) √：两个负数相加应该还是负数（符号位为 1），如果符号位变成 0，说明发生了负溢出（下溢）。
• (5) ×：char 的符号性由编译器和平台决定，移植代码时要注意。
• (6) √：-1 的原码 1000 0001 → 反码 1111 1110 → 补码 1111 1111。也可以用公式验证：全 1 的补码 = -1。

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练习题 6（单选题）

题目： 16 位二进制补码 1111 1111 1111 1100 表示的十进制数是（ ）

A. -4　　B. -3　　C. 65532　　D. -12

🔑 点击查看答案与解析

答案： A

解析： 符号位为 1，是负数。对补码的数值位"再求补"得到原码：

补码：     1 111 1111 1111 1100
数值位取反：1 000 0000 0000 0011
加1：      1 000 0000 0000 0100  ← 原码

数值位 000 0000 0000 0100 = 4，加上符号位，真值为 -4。

💡 快速技巧：也可以用"从右往左找第一个 1"的方法。补码 ...11111100，从右数第一个 1 在第 2 位（从 0 开始数），该 1 右侧不变（都是 0），左侧数值位全部取反 → ...00000100，即 4，所以真值是 -4。

⚠️ 易错提醒：选项 C（65532）是把它当 unsigned 解读的结果。题目没说无符号，默认按有符号补码解读。

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练习题 7（单选题）

题目： 在 8 位下，同一二进制 1111 1111 按 signed char 和 unsigned char 解读，值分别是（ ）

A. -1 和 255　　B. -127 和 127　　C. 255 和 -1　　D. -1 和 127

🔑 点击查看答案与解析

答案： A

解析：

• signed char（有符号字符）：按补码解释，最高位是符号位。1111 1111 符号位为 1，是负数。对数值位再求补 → 000 0001 = 1，所以真值是 -1。
• unsigned char（无符号字符）：所有位都是数值位，没有符号位。1111 1111 = 128+64+32+16+8+4+2+1 = 255。

同一串 0/1，类型不同，解读完全不同！选 A。

🍎 生活比喻：同样是一张写着"110"的纸条，在警察局是报警电话，在医院是急救中心，在学校可能是学号。上下文（类型）决定了含义。

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练习题 8（程序阅读题）

题目： 阅读以下 C++ 程序，输出结果是（ ）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    signed char c = 127;
    c = c + 1;
    cout << (int)c << endl;
    return 0;
}

（注：主流编译器下，signed char 溢出按补码回绕处理）

A. 128　　B. -128　　C. 0　　D. -1

🔑 点击查看答案与解析

答案： B

解析：

signed char 的范围是 -128 ~ 127。127 已经是最大值，再加 1 就溢出了。

用补码手算：

  127 = 0111 1111
+   1 = 0000 0001
-----------------
        1000 0000   ← 符号位变成了 1

1000 0000 按 8 位补码解释就是 -128（补码的最小负数）。

两个正数相加结果变成了负数——这就是典型的正溢出（上溢）。

选 B。

⚠️ 注意：严格来说，有符号整数溢出在 C++ 标准中是"未定义行为"（UB），不同编译器结果可能不同。但在 GESP 考试中，通常按"补码回绕"的规则来考，即 127+1 = -128。

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十、📊 考点总结表

考点	重要程度	出题形式	易错点
机器数与真值、符号位	⭐⭐⭐	选择/判断	把符号位当数值位直接计算；混淆机器数和真值
原码表示法	⭐⭐⭐	选择	忘记 0 有两个原码；范围记成 -128~127
反码表示法	⭐⭐	选择/填空	负数反码符号位也跟着取反
补码表示法（求补码）	⭐⭐⭐⭐⭐	选择/程序阅读	忘记"+1"；符号位参与取反
补码的优点与表示范围	⭐⭐⭐⭐⭐	选择/判断	范围记成 -127~127；不知 -128 无原码/反码
已知补码求真值	⭐⭐⭐⭐	选择	把补码当原码读；不会用"再求补"法
溢出判断	⭐⭐⭐⭐	选择/判断	以为异号相加会溢出；不会判断正负溢出
signed/unsigned、char	⭐⭐⭐	选择/程序阅读	以为 char 处处有符号；同一位模式两种值
补码减法变加法原理	⭐⭐⭐⭐	选择/判断	不理解为什么补码能让减法变成加法
快速求补码技巧	⭐⭐⭐	手算提速	"从右数第一个1"法记不牢

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⭐ 必背速记卡

┌──────────────────────────────────────────────────────┐
│              ⭐ 数据编码必背速记卡                       │
├──────────────────────────────────────────────────────┤
│  1. 正数三码合一；负数：原码→反码（数值位取反）→补码(+1) │
│  2. n位补码范围：-2^(n-1) ~ 2^(n-1)-1                 │
│  3. 8位补码：-128 ~ 127；16位：-32768 ~ 32767        │
│  4. -128 的补码是 10000000，没有对应的原码和反码       │
│  5. 补码三大优势：减法变加法、零唯一、多一个最小负数   │
│  6. 已知补码求真值：负数的数值位"再求补"（取反+1）     │
│  7. 快速求补码：从右找第一个1，该1及右侧不变，左侧取反 │
│  8. 同号相加结果变号 → 溢出；异号相加永不溢出          │
│  9. 全1补码 = -1；全0补码 = 0                         │
│ 10. 按补码解释 11111111 = -1，按无符号解释 = 255       │
│ 11. char 的符号性由平台决定，signed char 一定有符号    │
│ 12. 钟表调时理解补码：模12系统中，-2 和 +10 等价        │
└──────────────────────────────────────────────────────┘

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