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第3章 进制转换
🎯 本章学习目标
学完本章，你将能够：
- 理解进制的基本概念：基数、数码、位权
- 掌握 R 进制转十进制的方法：按权展开求和
- 掌握十进制转 R 进制的方法：整数除基取余倒排、小数乘基取整顺排
- 熟练进行二进制与八进制之间的三位一组快速转换
- 熟练进行二进制与十六进制之间的四位一组快速转换
- 掌握八进制与十六进制之间的"二进制桥梁"转换法
- 记住十六进制数码 A~F 与十进制 10~15 的对应关系
- 理解 C++ 中不同进制的字面量表示（0b/0/0x 前缀）
- 掌握 C++ 中 dec/oct/hex 控制符与 bitset 的使用
- 能够快速比较不同进制数的大小（统一转十进制法）
🗺️ 本章知识图谱
进制转换
├── 基本概念
│ ├── 基数（逢几进一）
│ ├── 数码（允许使用的符号）
│ └── 位权（基数的位次方）
├── 四种进制
│ ├── 二进制（B）：0、1，基数2
│ ├── 八进制（O）：0~7，基数8
│ ├── 十进制（D）：0~9，基数10
│ └── 十六进制（H）：0~9、A~F，基数16
├── R进制 → 十进制
│ └── 按权展开求和
│ ├── 整数部分：从右往左，位权 R^0, R^1, R^2...
│ └── 小数部分：从左往右，位权 R^-1, R^-2...
├── 十进制 → R进制
│ ├── 整数部分：除基取余，倒序排列
│ └── 小数部分：乘基取整，顺序排列
├── 二进制 ↔ 八进制
│ ├── 三位一组
│ ├── 二进制→八进制：从右往左每3位一组，左边补0
│ └── 八进制→二进制：每位展开成3位
├── 二进制 ↔ 十六进制
│ ├── 四位一组
│ ├── 二进制→十六进制：从右往左每4位一组，左边补0
│ └── 十六进制→二进制：每位展开成4位
├── 八进制 ↔ 十六进制
│ └── 以二进制为桥梁
└── C++ 中的进制
├── 字面量前缀：0b(二进制)、0(八进制)、0x(十六进制)
├── 输出控制：dec、oct、hex（持久生效）
└── bitset：查看二进制一、进制的基本概念
1.1 什么是进制？
进制（数制）是用固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。我们日常使用十进制，计算机内部使用二进制，而八进制、十六进制则是程序员为了简写二进制而发明的"辅助进制"。
理解任何一种进制，只需要抓住三个核心概念：
| 概念 | 含义 | 十进制举例 |
|---|---|---|
| 基数（Base） | 该进制使用的数码个数，逢几进一就是几进制 | 十进制基数为 10 |
| 数码（Digit） | 该进制中允许使用的基本符号 | 0、1、2 …… 9 |
| 位权（Weight） | 每个数位上的数码所代表的实际数值大小 = 数码 × 基数的位次方 | 百位上的 3 表示 3×10²=300 |
高频考点 🔥： 位权是进制转换的灵魂！小数点左边第 i 位（从 0 开始数）的位权是 R^i，小数点右边第 j 位的位权是 R^(-j)。
1.2 四种进制对照表
| 进制 | 基数 | 数码 | 进位规则 | 书写标识 | C++前缀 |
|---|---|---|---|---|---|
| 二进制 | 2 | 0、1 | 逢二进一 | (1011)₂ 或 1011B | 0b1011 |
| 八进制 | 8 | 0～7 | 逢八进一 | (157)₈ 或 157O | 017 |
| 十进制 | 10 | 0～9 | 逢十进一 | (255)₁₀ 或 255D | 255（无前缀） |
| 十六进制 | 16 | 0～9、A～F | 逢十六进一 | (2AF)₁₆ 或 2AFH | 0x2AF |
易错点 ⚠️： 十六进制中 A～F（不分大小写）分别对应 10～15：A=10、B=11、C=12、D=13、E=14、F=15。这是每年必背的对应关系，记错一个全盘皆错！
| 十六进制数码 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 对应十进制 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
为什么需要八进制和十六进制？ 因为 8=2³、16=2⁴，八进制一位正好对应二进制三位，十六进制一位正好对应二进制四位。用它们书写二进制数特别简短——32 位二进制数只需 8 个十六进制位就能写完。
二、R进制 → 十进制：按位权展开求和
2.1 转换方法
把 R 进制数的每一位数码乘以它所在位的位权，再全部相加，得到的就是十进制数。
公式：
(dₙ…d₁d₀.d₋₁d₋₂…)_R = dₙ×Rⁿ + … + d₁×R¹ + d₀×R⁰ + d₋₁×R⁻¹ + d₋₂×R⁻² + …2.2 手算例题
例1：二进制 (1011)₂ 转十进制
| 数位 | 1 | 0 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| 位权 | 2³=8 | 2²=4 | 2¹=2 | 2⁰=1 |
| 乘积 | 8 | 0 | 2 | 1 |
求和：8 + 0 + 2 + 1 = 11，即 (1011)₂ = (11)₁₀
例2：八进制 (157)₈ 转十进制
| 数位 | 1 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|
| 位权 | 8²=64 | 8¹=8 | 8⁰=1 |
| 乘积 | 64 | 40 | 7 |
求和：64 + 40 + 7 = 111，即 (157)₈ = (111)₁₀
例3：十六进制 (2AF)₁₆ 转十进制
| 数位 | 2 | A（=10） | F（=15） |
|---|---|---|---|
| 位权 | 16²=256 | 16¹=16 | 16⁰=1 |
| 乘积 | 512 | 160 | 15 |
求和：512 + 160 + 15 = 687，即 (2AF)₁₆ = (687)₁₀
例4：带小数的二进制 (101.01)₂ 转十进制
整数部分：1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 5 小数部分：0×2⁻¹ + 1×2⁻² = 0 + 0.25 = 0.25
合计：(101.01)₂ = 5.25
例5：十进制 0.8125 转十六进制： 0.8125 × 16 = 13.0 → 整数位 13 → D，结果 (0.D)₁₆。
易错点 ⚠️： 小数点右边第一位的位权是 R⁻¹（如 2⁻¹=0.5），不是 R⁰！很多同学把小数部分也按 1、2、4 去乘，结果必然错误。
三、十进制 → R进制：整数除基取余，小数乘基取整
十进制转其他进制要分整数部分和小数部分分别处理，最后用小数点拼起来。
3.1 整数部分：除基取余，逆序排列
方法口诀：除基取余，直到商为 0，余数从下往上读（倒排）。
例1：十进制 45 转二进制
| 步骤 | 计算 | 商 | 余数 |
|---|---|---|---|
| 1 | 45 ÷ 2 | 22 | 1 |
| 2 | 22 ÷ 2 | 11 | 0 |
| 3 | 11 ÷ 2 | 5 | 1 |
| 4 | 5 ÷ 2 | 2 | 1 |
| 5 | 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 6 | 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
余数从下往上读：1 0 1 1 0 1，即 45 = (101101)₂
验证：32+8+4+1 = 45 ✓
例2：十进制 200 转十六进制
| 步骤 | 计算 | 商 | 余数 |
|---|---|---|---|
| 1 | 200 ÷ 16 | 12 | 8 |
| 2 | 12 ÷ 16 | 0 | 12 → C |
倒排读：C、8，即 200 = (C8)₁₆
验证：12×16 + 8 = 200 ✓
3.2 小数部分：乘基取整，顺序排列
方法口诀：乘基取整，直到小数部分为 0（或达到精度），整数从上往下读（顺排）。
例3：十进制 0.625 转二进制
| 步骤 | 计算 | 取出的整数位 | 当前小数部分 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.625 × 2 = 1.25 | 1 | 0.25 |
| 2 | 0.25 × 2 = 0.5 | 0 | 0.5 |
| 3 | 0.5 × 2 = 1.0 | 1 | 0（结束） |
整数位顺排：1 0 1，即 0.625 = (0.101)₂
验证：0.5 + 0.125 = 0.625 ✓
例4：十进制 13.75 转二进制（整数+小数综合）
- 整数部分：13 ÷2 依次余 1、0、1、1 → 倒排为 1101
- 小数部分：0.75×2=1.5 取 1，0.5×2=1.0 取 1 → 顺排为 11
结果：13.75 = (1101.11)₂
验证：8+4+1 + 0.5+0.25 = 13.75 ✓
高频考点 🔥： 整数转换余数要倒着读，小数转换整数位要顺着读，方向千万别搞反！可以记成"整数倒挂、小数顺流"。
易错点 ⚠️： 并非所有十进制小数都能精确转换成二进制有限小数！例如 0.1 转二进制是 0.0001100110011… 无限循环，这就是浮点数存在精度误差的根本原因。考试中若遇转换不尽的题目，按题目要求保留位数即可。
四、二进制 ↔ 八进制：三位一组
因为 8 = 2³，所以一位八进制数恰好对应三位二进制数。
4.1 数码对照表（必背）
| 八进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 二进制 | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
4.2 二进制 → 八进制
方法：以小数点为界，整数部分从右往左每三位一组，小数部分从左往右每三位一组，不足三位的补 0，每组对照转换。
例：(11010.11)₂ 转八进制
分组（整数向左补零、小数向右补零）：
整数部分： 11010 → 011 010 （左边不足3位，补1个0）
小数部分： .11 → .110 （右边不足3位，补1个0）
对照转换： 3 2 . 6结果：(11010.11)₂ = (32.6)₈
验证：11010₂ = 26，32₈ = 3×8+2 = 26 ✓；.11₂=0.75，.6₈=6/8=0.75 ✓
4.3 八进制 → 二进制
方法：每位八进制数码展开成对应的三位二进制，再去掉多余的前导零和小数末尾零。
例：(73)₈ 转二进制
7 → 111
3 → 011
拼接：111 011 → (111011)₂验证：73₈ = 7×8+3 = 59；111011₂ = 32+16+8+2+1 = 59 ✓
易错点 ⚠️： 分组方向永远是从小数点向两边分！整数部分从右往左分组（左边补零），小数部分从左往右分组（右边补零）。从最左侧开始分组是最典型的错误。
五、二进制 ↔ 十六进制：四位一组
因为 16 = 2⁴，所以一位十六进制数恰好对应四位二进制数。
5.1 数码对照表（必背）
| 十六进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 二进制 | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 |
| 十六进制 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 二进制 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
5.2 二进制 → 十六进制
方法：以小数点为界，整数部分从右往左每四位一组，小数部分从左往右每四位一组，不足四位补 0。
例：(11010110.101)₂ 转十六进制
整数部分：11010110 → 1101 0110
小数部分：.101 → .1010 （右边补1个0）
对照转换： D 6 . A结果：(11010110.101)₂ = (D6.A)₁₆
验证：D6₁₆ = 13×16+6 = 214；11010110₂ = 128+64+16+4+2 = 214 ✓；.A₁₆ = 10/16 = 0.625 = .101₂ ✓
5.3 十六进制 → 二进制
例：(3F)₁₆ 转二进制
3 → 0011
F → 1111
拼接：0011 1111 → 去掉前导零 → (111111)₂验证：3F₁₆ = 3×16+15 = 63；111111₂ = 32+16+8+4+2+1 = 63 ✓
高频考点 🔥： "八三、十六四"——八进制一位对二进制三位，十六进制一位对二进制四位。补零方向：整数补在左边（高位），小数补在右边（低位）。
六、八进制 ↔ 十六进制：以二进制为桥梁
八进制和十六进制之间没有直接的分组对应关系（3 位一组和 4 位一组对不齐），最稳妥的方法是以二进制为中转站：
八进制 ──(每位展开3位)──> 二进制 ──(每4位分组)──> 十六进制
十六进制 ──(每位展开4位)──> 二进制 ──(每3位分组)──> 八进制例1：(73)₈ 转十六进制
第1步：73₈ → 二进制：7→111，3→011，得 111011
第2步：按4位分组（左边补2个0）：0011 1011
第3步：对照：0011=3，1011=B
结果：73₈ = (3B)₁₆ （验证：73₈=59，3B₁₆=3×16+11=59 ✓）例2：(2AF)₁₆ 转八进制
第1步：2AF₁₆ → 二进制：2→0010，A→1010，F→1111，得 001010101111
第2步：按3位分组（左边补1个0）：001 010 101 111
第3步：对照：001=1，010=2，101=5，111=7
结果：2AF₁₆ = (1257)₈ （验证：2AF₁₆=687，1257₈=512+128+40+7=687 ✓）进制转换路线总览
| 转换方向 | 方法 |
|---|---|
| R进制 → 十进制 | 按位权展开求和 |
| 十进制 → R进制 | 整数除基取余倒排，小数乘基取整顺排 |
| 二进制 ↔ 八进制 | 三位一组，直接对照 |
| 二进制 ↔ 十六进制 | 四位一组，直接对照 |
| 八进制 ↔ 十六进制 | 先转二进制，再分组转换 |
七、C++ 中的进制表示与输出
7.1 整数字面量的进制前缀
| 写法 | 含义 | 示例值 |
|---|---|---|
123 | 十进制（无前缀） | 123 |
0b1011 | 二进制（C++14 起支持，部分环境需开启 -std=c++14）※虽然 C++14 支持 0b，但为兼容不同考试环境，建议在 GESP 考试中不要使用二进制字面量，改用十六进制或十进制。 | 11 |
017 | 八进制（以数字 0 开头） | 15 |
0x2F | 十六进制（以 0x 开头，x 和字母不区分大小写） | 47 |
易错点 ⚠️： C++ 中整数以
0开头表示八进制！所以019是非法的（八进制没有数码 9），编译会报错。写代码时不要随手在数字前加 0。
7.2 完整示例代码
cpp
#include <iostream>
#include <bitset> // 使用 bitset 查看二进制需要包含此头文件
using namespace std;
int main() {
// ===== 1. 不同进制的整数字面量 =====
int a = 0b1011; // 二进制字面量，值为 11
int b = 017; // 八进制字面量（数字0开头），值为 15
int c = 0x2F; // 十六进制字面量，值为 47
int d = 47; // 十进制字面量
cout << "a = " << a << endl; // 默认按十进制输出：a = 11
cout << "b = " << b << endl; // b = 15
cout << "c = " << c << endl; // c = 47
// ===== 2. 使用 dec/oct/hex 控制符切换输出进制 =====
cout << dec << d << endl; // 十进制输出：47
cout << oct << d << endl; // 八进制输出：57
cout << hex << d << endl; // 十六进制输出（小写）：2f
cout << uppercase << hex << d << endl; // 大写输出：2F
cout << dec; // 控制符会一直生效，记得切回十进制
// ===== 3. 使用 bitset 输出二进制 =====
// bitset<位数>(整数)，尖括号中指定二进制位数
cout << bitset<8>(d) << endl; // 8位二进制：00101111
cout << bitset<16>(d) << endl; // 16位二进制：0000000000101111
return 0;
}
/*
程序输出：
a = 11
b = 15
c = 47
47
57
2f
2F
00101111
0000000000101111
*/高频考点 🔥：
dec、oct、hex是持久生效的控制符——设置一次，后面的所有输出都按该进制，直到再次切换。程序阅读题中常在这里设陷阱！另外cin >> hex >> x;也可以按十六进制读取输入。
八、易错点清单
| 序号 | 易错点 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 1 | 分组时从数字最左端开始数 | 永远以小数点为界向两边分组 |
| 2 | 分组不足位数时补错位置 | 整数部分补在左边（高位），小数部分补在右边（低位） |
| 3 | A～F 的对应值记混 | A=10、B=11、C=12、D=13、E=14、F=15，张口就来 |
| 4 | 小数部分位权按 1、2、4 算 | 小数点后位权是 R⁻¹、R⁻²…（0.5、0.25…） |
| 5 | 除基取余后从上往下读余数 | 整数余数倒排（从下往上） |
| 6 | 乘基取整后从下往上读 | 小数整数位顺排（从上往下） |
| 7 | 八进制三位、十六进制四位记反 | "八三、十六四" |
| 8 | C++ 中写 019 之类的数 | 0 开头是八进制，只能出现 0～7 |
| 9 | 八进制↔十六进制硬转 | 一律走二进制桥梁，又快又准 |
| 10 | 认为所有小数都能精确转换 | 如 0.1 转二进制为无限循环小数 |
九、📝 实战练习
练习题 1（单选题）
题目： 下列四个数中，数值最大的是（ ）
A. (10110110)₂ B. (265)₈ C. 180 D. (B7)₁₆
🔑 点击查看答案与解析
答案： D
解析： 比较不同进制数的大小，统一转换成十进制再比较：
- A：(10110110)₂ = 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182
- B：(265)₈ = 2×64 + 6×8 + 5 = 128 + 48 + 5 = 181
- C：180
- D：(B7)₁₆ = 11×16 + 7 = 176 + 7 = 183
183 > 182 > 181 > 180，最大的是 D。
解题技巧： 选择题中比较大小，也可以走二进制桥梁快速互转，但位权展开法最稳妥、不易出错。
练习题 2（单选题）
题目： 十进制数 156 转换为二进制是（ ），转换为十六进制是（ ）。
🔑 点击查看答案与解析
答案： (10011100)₂；(9C)₁₆
解析：
（1）除基取余转二进制：
| 步骤 | 计算 | 商 | 余数 |
|---|---|---|---|
| 1 | 156 ÷ 2 | 78 | 0 |
| 2 | 78 ÷ 2 | 39 | 0 |
| 3 | 39 ÷ 2 | 19 | 1 |
| 4 | 19 ÷ 2 | 9 | 1 |
| 5 | 9 ÷ 2 | 4 | 1 |
| 6 | 4 ÷ 2 | 2 | 0 |
| 7 | 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 8 | 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
余数倒排：10011100
（2）转十六进制（两种方法互相验证）：
方法一：除基取余——156 ÷ 16 = 9 余 12（C），9 ÷ 16 = 0 余 9，倒排得 9C
方法二：二进制四位分组——1001 1100 → 1001=9，1100=C → 9C ✓
验证：9×16 + 12 = 144 + 12 = 156 ✓
练习题 3（单选题）
题目： 八进制数 (327)₈ 转换为十六进制是（ ）
A. (D7)₁₆ B. (7D)₁₆ C. (E7)₁₆ D. (D3)₁₆
🔑 点击查看答案与解析
答案： A
解析： 走"八进制 → 二进制 → 十六进制"路线：
第1步：每位八进制展开为三位二进制：
3 → 011，2 → 010，7 → 111
拼接得：011010111第2步：以小数点为界（本题无小数），从右往左每四位一组，左边补零：
011010111 共9位，补3个0凑成12位：
0000 1101 0111第3步：每组对照十六进制：
- 0000 → 0（前导零省略）
- 1101 → 13 → D
- 0111 → 7
结果为 (D7)₁₆，选 A。
验证：327₈ = 3×64 + 2×8 + 7 = 215；D7₁₆ = 13×16 + 7 = 215 ✓
易错提醒： 本题最典型的错误是分组方向搞反，把
011 010 111错误地按"0110、1011、1……"分组。记住：分组永远从右往左、凑不齐在左边补零。
练习题 4（填空题）
题目： 填空：
(1) 八进制的基数是 ______，数码范围是 ______。 (2) 十六进制数码 C 对应的十进制值是 ______。 (3) 二进制数 101.01 的整数部分最高位的位权是 ______，小数部分第一位的位权是 ______。 (4) C++ 中，八进制数以 ______ 开头，十六进制数以 ______ 开头。
🔑 点击查看答案与解析
答案： (1) 8、0～7 (2) 12 (3) 2²（或 4）、2⁻¹（或 0.5） (4) 数字 0、0x（或 0X）
解析：
- (1) 八进制基数为 8，数码为 0、1、2、3、4、5、6、7，逢八进一。
- (2) A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15。C 是第 3 个字母，对应 10+2=12。
- (3) 整数部分从右往左位权依次是 2⁰, 2¹, 2²...，
101最高位（最左）是第 2 位（从 0 开始数），位权是 2²=4。小数部分从左往右位权是 2⁻¹, 2⁻²...，第一位是 2⁻¹=0.5。 - (4) C++ 中以 0 开头的整数是八进制（如 017），以 0x 开头的是十六进制（如 0x1F）。
练习题 5（判断题）
题目： 判断下列说法是否正确，正确打"√"，错误打"×"。
(1) 八进制数中可以出现数码 8。（ ） (2) 十进制整数转二进制，用"除 2 取余，余数从下往上读"。（ ） (3) 二进制转八进制时，整数部分从左往右每 3 位一组。（ ） (4) 所有十进制小数都能精确转换成有限位二进制小数。（ ） (5) C++ 中 cout << hex << 15; 输出 f（小写）。（ ） (6) dec、oct、hex 控制符只对下一次输出生效。（ ）
🔑 点击查看答案与解析
答案： (1) × (2) √ (3) × (4) × (5) √ (6) ×
解析：
- (1) ×：八进制数码只有 0~7，出现 8 就是非法数。
- (2) √：除基取余，逆序排列（余数从下往上读）。
- (3) ×：整数部分从右往左每 3 位一组，不足在左边补 0。从左往右分会导致位数不对齐。
- (4) ×：如 0.1 转二进制是无限循环小数，这正是浮点数存在精度误差的原因。
- (5) √：默认 hex 输出小写字母；加
uppercase后输出大写。 - (6) ×：dec/oct/hex 是持久生效的，设置一次后所有后续输出都受影响，直到切换回来。
练习题 6（单选题）
题目： 以下 C++ 程序的输出是（ ）
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int x = 26;
cout << hex << x << " ";
cout << x << " ";
cout << oct << x << endl;
return 0;
}A. 1a 1a 32 B. 1a 26 32 C. 26 26 32 D. 1a 26 26
🔑 点击查看答案与解析
答案： A
解析： 本题考查进制控制符的"持久生效"特性。
- 第 1 个输出：
hex后输出 26 → 26 的十六进制是1a（16+10=26，10=a） - 第 2 个输出：因为
hex持久生效，仍然按十六进制输出 →1a - 第 3 个输出：切换到
oct后输出 26 → 26 的八进制是32（3×8+2=26）
所以输出是 1a 1a 32，选 A。
⚠️ 易错提醒：很多同学以为第二个
cout << x会回到十进制输出 26，错！进制控制符一旦设置就一直有效，直到被显式切换。考试常在这种地方设陷阱。
练习题 7（单选题）
题目： 下列各数中，与二进制数 101010 值相等的是（ ）
① (52)₈ ② 42 ③ (2A)₁₆ ④ (101001)₂
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④
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答案： C
解析： 先把二进制 101010 转十进制：
101010 = 32 + 8 + 2 = 42
再逐一验证：
- ①
(52)₈ = 5×8 + 2 = 42✅ 相等 - ②
42✅ 相等 - ③
(2A)₁₆ = 2×16 + 10 = 32 + 10 = 42✅ 相等 - ④
(101001)₂ = 32 + 8 + 1 = 41❌ 不相等
①②③ 都等于 42，选 C。
💡 快速验证技巧：二进制和十六进制可以直接四位一组对照验证：
10 1010→ 补零为0010 1010→2 A→2A，和③一致 ✓
练习题 8（编程题）
题目： 输入一个十进制正整数 n（n ≤ 1000），输出它的二进制表示。
输入样例：
13输出样例：
1101🔑 点击查看答案与解析
C++ 参考代码（方法一：数组存余数倒序输出）：
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
int bin[32]; // 存二进制各位（最多32位）
int len = 0; // 二进制位数
// 除基取余
while (n > 0) {
bin[len] = n % 2;
n = n / 2;
len++;
}
// 倒序输出（从高位到低位）
for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
cout << bin[i];
}
cout << endl;
return 0;
}C++ 参考代码（方法二：直接用 bitset，更简洁）：
cpp
#include <iostream>
#include <bitset>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
// 用 bitset 输出二进制，但前面会有前导零
string s = bitset<32>(n).to_string();
// 去掉前导零
int start = 0;
while (start < 31 && s[start] == '0') start++;
cout << s.substr(start) << endl;
return 0;
}解析：
- 方法一是手算思路的代码实现：用数组存每次除以 2 的余数，因为余数是从低位到高位得到的，所以输出时要倒过来输出。
- 方法二利用 C++ 标准库的
bitset直接转成二进制字符串，然后去掉前导零。代码更简洁，但需要了解 bitset 的用法。
验证：13 ÷ 2 余 1, 商 6 → 6 ÷ 2 余 0, 商 3 → 3 ÷ 2 余 1, 商 1 → 1 ÷ 2 余 1, 商 0 余数倒排：1101 ✓
考点：除基取余 + 倒序输出。这是进制转换最经典的编程题。
十、📊 考点总结表
| 考点 | 重要程度 | 出题形式 | 易错点 |
|---|---|---|---|
| 基数、数码、位权的概念 | ⭐⭐⭐ | 选择/判断 | 小数部分位权搞反（以为第一位是 R⁰） |
| R进制转十进制（位权展开） | ⭐⭐⭐⭐ | 选择/计算 | 位权算错；A~F 对应值记错 |
| 十进制转R进制（除基取余/乘基取整） | ⭐⭐⭐⭐⭐ | 选择/填空/计算 | 整数余数从上往下读（应该倒着读）；小数整数位从下往上读（应该顺着读） |
| 二进制↔八进制（三位一组） | ⭐⭐⭐⭐ | 选择/填空 | 分组方向搞反（从左往右分）；补零位置错（整数补右边） |
| 二进制↔十六进制（四位一组） | ⭐⭐⭐⭐⭐ | 选择/填空 | 三位一组和四位一组记混；A~F 值记混 |
| 八进制↔十六进制（二进制桥梁） | ⭐⭐⭐⭐ | 选择/计算 | 直接硬转不用桥梁；分组方向错 |
| C++ 进制前缀（0/0x）与 dec/oct/hex | ⭐⭐⭐⭐ | 程序阅读/选择 | 以为 0 开头是十进制；不知道控制符持久生效 |
| A~F 对应 10~15 | ⭐⭐⭐⭐⭐ | 各类题型 | 把 A 记成 11、F 记成 16 等偏移错误 |
| 不同进制数的大小比较 | ⭐⭐⭐⭐⭐ | 选择题必考题 | 不转换直接凭感觉比；转换计算出错 |
| 小数转换精度问题 | ⭐⭐⭐ | 判断/选择 | 以为所有小数都能精确转换 |
⭐ 必背速记卡
┌──────────────────────────────────────────────────────┐
│ ⭐ 进制转换必背速记卡 │
├──────────────────────────────────────────────────────┤
│ 1. 进制三要素：基数、数码、位权 │
│ 2. 十六进制 A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15 │
│ 3. R→十：按权展开求和（整数从右 R^0起，小数从左 R^-1起） │
│ 4. 十→R：整数除基取余倒排；小数乘基取整顺排 │
│ 5. 八三、十六四：八进制1位=二进制3位，十六1位=4位 │
│ 6. 分组方向：以小数点为界，整数从右往左，小数从左往右 │
│ 7. 补零方向：整数补左边（高位），小数补右边（低位） │
│ 8. 八↔十六：先转二进制当桥梁，再分组转换 │
│ 9. C++中：0开头是八进制，0x开头是十六进制 │
│ 10. dec/oct/hex 持久生效，用了hex记得切回dec │
│ 11. 比较不同进制大小：统一转十进制最稳妥 │
│ 12. 0.1转二进制是无限循环小数，浮点数有精度误差 │
└──────────────────────────────────────────────────────┘