第9章数学函数

🎯 本章学习目标

学完本章，你将能够：

✅ 掌握 abs/fabs 绝对值函数的用法
✅ 掌握 sqrt 平方根函数及返回值类型
✅ 学会使用 max/min 函数比较大小
✅ 了解 pow/ceil/floor 等扩展数学函数
✅ 理解 rand() 与 srand() 的关系
✅ 掌握生成指定范围随机整数的万能公式
✅ 记住 srand(time(0)) 的作用和使用位置
✅ 能用随机数模拟掷骰子、猜数字等问题
✅ 掌握用 sqrt 优化质数判断的方法
✅ 学会计算两点间距离（勾股定理+sqrt）
✅ 理解伪随机数的概念

🗺️ 本章知识图谱

数学函数
├── 绝对值
│   ├── abs(x)：整数绝对值（<cstdlib>）
│   └── fabs(x)：浮点绝对值（<cmath>）
├── 平方根
│   ├── sqrt(x)：算术平方根
│   ├── 返回值是 double
│   └── 负数开方得 nan
├── 最值
│   ├── max(a,b) / min(a,b)
│   ├── max({a,b,c}) 初始化列表（C++11）
│   └── 头文件 <algorithm>
├── 扩展函数（了解）
│   ├── pow(a,b)：幂运算 a^b
│   ├── ceil(x)：向上取整（朝正方向）
│   └── floor(x)：向下取整（朝负方向）
├── 随机数 ⭐⭐⭐⭐⭐
│   ├── rand()：返回 0~RAND_MAX 的整数
│   ├── RAND_MAX：至少32767
│   ├── srand(seed)：设置随机种子
│   ├── srand(time(0))：用时间播种（每次不同）
│   ├── 伪随机：种子相同，序列相同
│   └── 万能公式：rand()%(b-a+1) + a  → [a, b]
└── 经典应用
    ├── 三数求最大最小
    ├── 质数判断优化（试除到sqrt(n)）
    ├── 掷骰子模拟（rand%6+1）
    ├── 猜数字游戏
    └── 两点间距离（sqrt+平方）

📖 引言

前面各章里，我们学会了让计算机"存数据"（存储与网络）、"说话"（程序设计语言）、"看图思考"（流程图）、"认字符"（ASCII 编码）、"变身"（数据类型转换），还掌握了"做判断"（多层分支）和"绕圈子"（多层循环）。本章要给二级知识体系补上最后一块拼图——数学函数。

别被"函数"两个字吓到，本章的函数都是"拿来即用"的工具：求绝对值、开平方、比大小、抛骰子……几行代码就能让程序拥有数学超能力。其中随机数是本章绝对的重头戏，掷骰子、猜数字、抽奖模拟，编程题里反复出现。

一、绝对值函数：`abs` 与 `fabs`

绝对值就是"去掉负号"：|-5| = 5，|-3.14| = 3.14。两种语言的用法如下：

功能	C++ 写法	需要的头文件
整数取绝对值	`abs(x)`	`<cstdlib>`
浮点数取绝对值	`fabs(x)`	`<cmath>`

🔥 高频考点：abs 主要用于整数，fabs 专门用于浮点数这是二级选择题的常客。记忆口诀："整数 abs，浮点 fabs"——fabs 里的 f 就是 float（浮点）的意思。不过C++对 abs 做了重载，浮点数传入 abs 也能编译通过；考试中整数用 abs、浮点用 fabs 是最规范的写法。

C++ 示例：

cpp

#include <iostream>
#include <cstdlib>   // abs(int)
#include <cmath>     // fabs(double)
using namespace std;

int main() {
    int a = -5;
    double b = -3.14;

    cout << abs(a) << endl;    // 5：整数取绝对值用 abs
    cout << fabs(b) << endl;   // 3.14：浮点数取绝对值用 fabs
    cout << abs(-10) << endl;  // 10：正数的绝对值是它本身
    cout << fabs(2.5) << endl; // 2.5
    return 0;
}

⚠️ 易错点：C++ 中 abs() 和 fabs() 的返回值类型不同——abs(-5) 返回 int，fabs(-3.14) 返回 double。做整数除法/取模运算时混用浮点数结果，可能引发类型隐患，考试中要看清题目变量的类型。

二、平方根函数：`sqrt`

平方根函数用于求算术平方根，如 √16 = 4。

功能	写法	头文件	返回值
平方根	`sqrt(x)`	`<cmath>`	`double`（如 `sqrt(16)` 得到 `4.0`）
C++ 示例：

cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    cout << sqrt(16) << endl;   // 4（返回值其实是 double 类型的 4.0）
    cout << sqrt(2) << endl;    // 1.41421
    cout << sqrt(25) << endl;   // 5
    cout << sqrt(-1) << endl;   // nan：对负数开平方，结果为 nan（Not a Number）
    return 0;
}

🔥 高频考点：sqrt() 的返回值是浮点数！ 即使 sqrt(16) 数学上等于 4，程序里得到的也是 4.0（double/float），不是整数 4。

⚠️ **易错点：负数开平方
C++：sqrt(-1) 不报错，返回 nan（Not a Number，非数）

三、最大值与最小值：`max` / `min`

比较大小是编程中最常见的需求之一。

函数	两个数比较	多个数比较	头文件
`max` / `min`	`max(a, b)` / `min(a, b)`	`max({a, b, c})`（C++11 初始化列表）	`<algorithm>`

C++ 示例：

cpp

#include <iostream>
#include <algorithm>   // max、min 都在这个头文件里
using namespace std;

int main() {
    cout << max(3, 7) << endl;        // 7
    cout << min(3, 7) << endl;        // 3

    // C++11 起支持初始化列表，一次比较任意多个数
    cout << max({3, 7, 5, 9}) << endl;  // 9
    cout << min({3, 7, 5, 9}) << endl;  // 3

    // 老式写法（嵌套调用，效果相同）
    cout << max(3, max(7, 5)) << endl;  // 7
    return 0;
}

⚠️ 易错点：① C++ 用 max/min 必须 #include <algorithm>，忘了头文件会编译报错；② C++ 初始化列表的花括号 { } 不能写成圆括号；

四、幂运算与取整：`pow`、`ceil`、`floor`（了解）

这三个函数考纲要求"了解"，在编程题中偶尔登场，顺手记住不吃亏：

功能	C++（`<cmath>`）	示例
幂运算 aᵇ	`pow(a, b)`	`pow(2,10)` = 1024
向上取整	`ceil(x)`	`ceil(3.2)` = 4
向下取整	`floor(x)`	`floor(3.8)` = 3

C++ 示例：

cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    cout << pow(2, 10) << endl;   // 1024：幂运算，返回 double
    cout << ceil(3.2) << endl;    // 4：向上取整（朝 +∞ 方向）
    cout << floor(3.8) << endl;   // 3：向下取整（朝 -∞ 方向）
    cout << ceil(-3.2) << endl;   // -3：负数"向上"是朝正方向，-3 比 -3.2 大
    cout << floor(-3.2) << endl;  // -4：负数"向下"是朝负方向，-4 比 -3.2 小
    return 0;
}

⚠️ 易错点：负数取整最容易错！ceil(-3.2) 是 -3 不是 -4，floor(-3.2) 是 -4 不是 -3。记住"ceil 朝数轴正方向（大）取，floor 朝数轴负方向（小）取"，画个数轴一看便知。

五、随机数函数（重点🔥）

随机数是本章的头号重点：掷骰子、猜数字、抽奖、模拟实验……编程题超爱考。但计算机其实生成不了"真正的随机数"，它产生的是伪随机数——由一个"种子（seed）"按固定公式推算出来的序列。种子相同，序列就相同。

`rand()` 与 `srand()`

要素	说明
`rand()`	返回一个 0 ~ `RAND_MAX` 之间的伪随机整数
`RAND_MAX`	rand() 能返回的最大值，C++标准规定至少为 32767；在GESP常用的Dev-C++环境中，`RAND_MAX` 的值就是32767 。但在某些Linux或64位环境下，`RAND_MAX` 可能更大（如2147483647）。
`srand(seed)`	播种：设置随机序列的起点。种子相同，后续 rand() 序列完全相同
`srand(time(0))`	用系统当前时间当种子（`<ctime>` 头文件），每次运行种子不同，结果才不同
头文件	`rand`/`srand` 在 `<cstdlib>`，`time(0)` 在 `<ctime>`

生成指定范围随机整数的万能公式：

想要的范围	表达式
`[0, b]`	`rand() % (b + 1)`
`[a, b]`（通用）	`rand() % (b - a + 1) + a`
骰子点数 `[1, 6]`	`rand() % 6 + 1`
两位数 `[10, 99]`	`rand() % 90 + 10`
`[1, 100]`	`rand() % 100 + 1`

C++ 示例：

cpp

#include <iostream>
#include <cstdlib>   // rand()、srand()、RAND_MAX
#include <ctime>     // time(0)
using namespace std;

int main() {
    // 1. RAND_MAX：rand() 能返回的最大值，多数环境下是 32767
    cout << RAND_MAX << endl;       // 32767

    // 2. 不播种直接调用 rand()：每次运行程序，输出的三个数都完全一样！
    cout << rand() << " " << rand() << " " << rand() << endl;

    // 3. 用系统时间播种：每次运行得到不同的随机序列
    srand(time(0));

    // 4. 用万能公式生成指定范围的随机整数
    cout << rand() % 6 + 1 << endl;     // 骰子点数：1~6
    cout << rand() % 100 + 1 << endl;   // 1~100
    cout << rand() % 90 + 10 << endl;   // 两位数：10~99
    cout << rand() % 11 << endl;        // 0~10
    return 0;
}
// 说明：第 2 行不播种的输出每次运行都相同（具体数值因编译器而异）；
//       播种 srand(time(0)) 之后，每次运行结果都不同。

🔥 高频考点（必考）：
不播种，每次运行结果都相同！ 题目问"为什么程序每次运行输出的随机数都一样"，答案就是缺少 srand(time(0))。
范围公式 rand() % (b - a + 1) + a 中，取模的数是"个数"（b-a+1），加的数是"起点" a，几乎每次考试都考。
srand(time(0)) 整个程序只调用一次，放在 main() 开头即可，千万不要放在循环里（time(0) 精确到秒，循环一圈远不到 1 秒，会播下相同的种子）。

六、数学函数一览表 ⭐

考前必看的一张总表：

功能	C++
整数绝对值	`abs(x)`（`<cstdlib>`）
浮点绝对值	`fabs(x)`（`<cmath>`）
平方根	`sqrt(x)`（`<cmath>`）
幂运算	`pow(a, b)`（`<cmath>`）
向上取整	`ceil(x)`
向下取整	`floor(x)`
最大值	`max(a, b)` / `max({a,b,c})`（`<algorithm>`）
最小值	`min(a, b)` / `min({a,b,c})`（`<algorithm>`）
随机整数	`rand()`（`<cstdlib>`）
播种	`srand(time(0))`（`<ctime>`）
生成 `[a,b]` 随机整数	`rand() % (b-a+1) + a`
`[0,1)` 随机浮点数	`(double)rand() / RAND_MAX`
对负数开平方	返回 `nan`

七、经典例题精讲

例题 1：三数求最大最小

题目： 输入三个整数，输出其中的最大值和最小值。

思路： 直接调用 max/min 函数。C++ 用初始化列表 max({a,b,c})。

cpp

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;

    cout << max({a, b, c}) << endl;   // C++11 初始化列表，一次比三个
    cout << min({a, b, c}) << endl;
    return 0;
}
// 输入：3 9 5
// 输出：
// 9
// 3

例题 2：用 sqrt 判断质数

题目： 输入一个正整数 n，判断它是不是质数（质数：大于 1，且只能被 1 和自身整除的数），是输出 Yes，否则输出 No。

思路（关键优化）： 如果 n 能被某个数整除，那么因数一定成对出现（如 18 = 2×9 = 3×6），所以只需检查 2 ~ √n 之间有没有因数就够了。这就是 sqrt 在算法题里最经典的用途。

cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    bool prime = true;
    if (n < 2) prime = false;        // 0 和 1 不是质数

    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {   // 只需试除到 sqrt(n)
        if (n % i == 0) {
            prime = false;
            break;                         // 找到一个因数，立刻判定不是质数
        }
    }

    cout << (prime ? "Yes" : "No") << endl;
    return 0;
}
// 输入：17   输出：Yes（17 是质数）
// 输入：18   输出：No（18 = 2 × 9）
// 输入：1    输出：No

🔥 高频考点：质数判断题的两个得分点：① 小于 2 的数不是质数；② 循环只需到 sqrt(n)（写成 i <= sqrt(n) 或 i * i <= n 均可），既考了数学函数，又考了循环优化。

例题 3：掷骰子模拟

题目： 模拟掷骰子 n 次，统计 1~6 每个点数各出现了多少次。

思路： 用数组做计数器，下标 1~6 对应六个点数。

📚 拓展 · 三级内容提示： 本例用数组 int cnt[7] 做计数器，数组属于 GESP 三级内容。二级若尚未学数组，用 6 个独立计数器变量（c1、c2…c6）配 switch 或 if 也能实现同样功能，思路完全一致，看懂计数思想即可。

cpp

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

int main() {
    srand(time(0));          // 播种！放在循环外面，整个程序只播一次

    int n;
    cin >> n;

    int cnt[7] = {0};        // cnt[1]~cnt[6] 分别统计六个点数，cnt[0] 闲置
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int point = rand() % 6 + 1;   // 生成 1~6 的骰子点数
        cnt[point]++;                 // 对应点数计数 +1
    }

    for (int p = 1; p <= 6; p++) {
        cout << p << "点:" << cnt[p] << "次" << endl;
    }
    return 0;
}
// 输入：6000
// 输出（每次运行结果不同，每个点数大约 1000 次）：
// 1点:987次
// 2点:1012次
// 3点:995次
// 4点:1003次
// 5点:998次
// 6点:1005次

例题 4：猜数字游戏

题目： 程序随机生成一个 1~100 的整数，玩家反复输入猜测，程序提示"太大了"或"太小了"，猜对时输出猜测次数。

思路： 随机数 + 循环 + 分支的综合应用，是二级编程题的经典原型。

cpp

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

int main() {
    srand(time(0));
    int target = rand() % 100 + 1;   // 随机答案：1~100
    int guess, count = 0;

    do {
        cin >> guess;
        count++;
        if (guess > target)
            cout << "太大了" << endl;
        else if (guess < target)
            cout << "太小了" << endl;
        else
            cout << "恭喜你，猜对了！共猜了 " << count << " 次" << endl;
    } while (guess != target);       // 没猜对就继续循环

    return 0;
}
// 运行示例（假设本次随机答案为 42，每次运行答案不同）：
// 50
// 太大了
// 25
// 太小了
// 42
// 恭喜你，猜对了！共猜了 3 次

⚠️ 易错点：随机答案的生成一定要在循环外面（生成一次就固定），写进循环里会变成"每猜一次答案就变"，游戏永远猜不对！

例题 5：两点间距离

题目： 输入平面上两个点的坐标 (x1, y1) 和 (x2, y2)，输出两点之间的距离，保留两位小数。

知识点： 距离公式 d = √[(x2−x1)² + (y2−y1)²]，综合练习 sqrt 与输出格式控制。

cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>     // setprecision
using namespace std;

int main() {
    double x1, y1, x2, y2;
    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;

    double dx = x2 - x1, dy = y2 - y1;
    double dist = sqrt(dx * dx + dy * dy);   // 勾股定理开平方

    cout << fixed << setprecision(2) << dist << endl;  // 保留两位小数
    return 0;
}
// 输入：0 0 3 4
// 输出：5.00

八、📝 实战练习

练习题 1（单选题）

题目： 在 C++ 中，要生成一个 [20, 50] 闭区间内的随机整数，正确的表达式是（）

A. rand() % 30 + 20 B. rand() % 31 + 20 C. rand() % 31 + 19 D. rand() % 50

🔑 点击查看答案与解析

答案： B

解析： 万能公式 rand() % (b - a + 1) + a。区间 [20, 50] 共有 50 − 20 + 1 = 31 个整数，起点是 20，所以是 rand() % 31 + 20。

A：% 30 只产生 0~29，加 20 得到 [20, 49]，取不到 50 ❌
C：加 19 得到 [19, 49]，范围全错 ❌
D：得到 [0, 49] ❌

练习题 2（程序阅读题）

题目： 阅读以下 C++ 程序，写出运行结果：

cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    cout << abs(-8) << endl;
    cout << fabs(-2.5) << endl;
    cout << sqrt(16) << endl;
    cout << max({4, 9, 6}) << endl;
    cout << (int)ceil(3.1) << " " << (int)floor(3.9) << endl;
    return 0;
}

🔑 点击查看答案与解析

答案：

解析：

abs(-8) = 8（整数绝对值）
fabs(-2.5) = 2.5（浮点绝对值）
sqrt(16) 返回 double 型的 4.0，cout 输出 4
max({4, 9, 6}) = 9（初始化列表取最大）
ceil(3.1) 向上取整 = 4；floor(3.9) 向下取整 = 3

练习题 3（编程题）

题目： 输入一个正整数 n（n ≥ 2），输出 2 ~ n 之间质数的个数。

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参考代码（C++）：

cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    int cnt = 0;
    for (int x = 2; x <= n; x++) {        // 逐个判断 2~n
        bool prime = true;
        for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++) {   // 试除到 sqrt(x)
            if (x % i == 0) {
                prime = false;
                break;
            }
        }
        if (prime) cnt++;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}
// 输入：20
// 输出：8（质数为 2,3,5,7,11,13,17,19）

解析要点： ① 外层循环枚举候选数，内层循环试除判断；② 内层只到 sqrt(x) 是标准优化；

练习题 4（编程题）

题目： 随机生成 n 个 [1, 100] 之间的整数，输出这 n 个数，并输出其中的最大值、最小值和平均值。

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参考代码（C++）：

cpp

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    srand(time(0));              // 播种一次，放在循环外

    int n;
    cin >> n;

    int sum = 0, mx = 0, mn = 101;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x = rand() % 100 + 1;     // 生成 1~100
        cout << x << " ";
        sum += x;
        mx = max(mx, x);              // 边生成边更新最大、最小
        mn = min(mn, x);
    }
    cout << endl;

    cout << "最大值:" << mx << " 最小值:" << mn << endl;
    cout << "平均值:" << (double)sum / n << endl;   // 注意转 double 避免整数除法
    return 0;
}
// 输入：5
// 输出（每次运行结果不同）：
// 73 12 88 45 29
// 最大值:88 最小值:12
// 平均值:49.4

解析要点： ① 随机数 + max/min 的综合考法；② 求平均值时 C++ 要 (double)sum / n 防止整数整除丢小数；

练习题 5（单选题）

题目： 下列关于 C++ 随机数的说法，正确的是（）

① rand() 函数能生成真正的随机数 ② 不调用 srand() 时，每次运行程序 rand() 产生的序列相同 ③ srand(time(0)) 应该放在循环内部，每次生成随机数前都播一次种 ④ 要生成 [10, 50] 的随机整数，写法是 rand() % 41 + 10

A. ①②　　B. ②③　　C. ②④　　D. ③④

🔑 点击查看答案与解析

答案： C

解析：

① 错误 ❌：计算机生成的是伪随机数——由种子按固定公式推算出来的，不是真正的随机。种子相同，序列就相同；
② 正确 ✅：不调用 srand 时，默认种子固定（通常为 1），所以每次运行得到的随机数序列完全一样；
③ 错误 ❌：srand(time(0)) 整个程序只调用一次就够了，放在 main 开头。放在循环里反而会因为 time(0) 精确到秒、循环太快而反复播下相同的种子，导致随机数重复；
④ 正确 ✅：万能公式 rand() % (b-a+1) + a，50−10+1 = 41，所以是 rand() % 41 + 10，得到 10~50。

选 C（②④）。

🔥 高频考点：srand 只调用一次、放在循环外——这是判断题和改错题的"钉子户"考点。万能公式也要记牢：模的是"个数"（b-a+1），加的是"起点"（a）。

练习题 6（判断题）

题目： 判断下列说法是否正确，正确的打 ✓，错误的打 ×。

① abs(-3.5) 的返回值是整数类型。（　）

② sqrt(16) 的返回值是 double 类型的 4.0。（　）

③ C++ 中 max(3, 5, 7) 可以直接比较三个数的大小。（　）

④ ceil(-2.3) 的结果是 -2。（　）

⑤ rand() % 10 生成的随机数范围是 1~10。（　）

⑥ pow(2, 10) 的结果是 1024.0（double 类型）。（　）

🔑 点击查看答案与解析

答案： ① ×　② ✓　③ ×　④ ✓　⑤ ×　⑥ ✓

解析：

① ×：abs() 主要用于整数，浮点数应该用 fabs()。虽然 C++ 对 abs 做了重载，但规范写法是整数用 abs、浮点用 fabs；
② ✓：sqrt() 返回值永远是 double 类型，即使结果是整数（如 sqrt(16)=4.0）；
③ ×：max(a, b) 只能比较两个数。比较三个数要用 max({a,b,c})（C++11 初始化列表，需要大括号）或 max(a, max(b, c))（嵌套调用）；
④ ✓：ceil 是向上取整（朝正方向），-2 比 -2.3 大（在数轴上更靠右），所以 ceil(-2.3) = -2。floor(-2.3) 才是 -3；
⑤ ×：rand() % 10 的范围是 0~9（余数为 0 到 9），不是 1~10。想要 1~10 应该写 rand() % 10 + 1；
⑥ ✓：pow(2, 10) 计算 2¹⁰ = 1024，返回值为 double 类型的 1024.0。

💡 负数取整最容易搞混，画个数轴就清楚了：ceil 往右边（大的方向）靠，floor 往左边（小的方向）靠。

练习题 7（程序阅读题）

题目： 阅读以下 C++ 程序，写出 4 行输出：

cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double x = 3.6;
    cout << (int)x << endl;          // 行1
    cout << floor(x) << endl;        // 行2
    cout << ceil(x) << endl;         // 行3
    cout << (int)ceil(x) + 1 << endl;// 行4
    return 0;
}

🔑 点击查看答案与解析

答案：

解析：

行1：(int)3.6 强制类型转换，截断小数 → 3（截断不是四舍五入）；
行2：floor(3.6) 向下取整（朝 -∞ 方向）= 3；
行3：ceil(3.6) 向上取整（朝 +∞ 方向）= 4；
行4：ceil(3.6) = 4.0，强转 int 得 4，再加 1 = 5。

🔥 易混淆三者对比：
强制转换 (int)x：截断小数（向零取整），正数与 floor 相同，负数与 ceil 相同；
floor(x)：向下取整（朝负方向）；
ceil(x)：向上取整（朝正方向）。

练习题 8（单选题）

题目： 用随机数模拟"石头剪刀布"游戏。程序随机生成 0=石头、1=剪刀、2=布，玩家输入自己的选择（0/1/2），程序输出电脑出什么、谁赢了。

规则：石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头；相同则平局。

输入样例1：

输出样例1（假设电脑出1）：

电脑出：剪刀
你赢了！

输入样例2：

输出样例2（假设电脑出1）：

电脑出：剪刀
平局！

🔑 点击查看答案与解析

参考代码（C++）：

cpp

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

int main() {
    srand(time(0));
    int player, computer;

    cin >> player;                         // 玩家输入：0石头 1剪刀 2布
    computer = rand() % 3;                 // 电脑随机：0~2

    // 输出电脑出什么
    if (computer == 0) cout << "电脑出：石头" << endl;
    else if (computer == 1) cout << "电脑出：剪刀" << endl;
    else cout << "电脑出：布" << endl;

    // 判断胜负
    if (player == computer) {
        cout << "平局！" << endl;
    } else if ((player == 0 && computer == 1)   // 石头赢剪刀
            || (player == 1 && computer == 2)   // 剪刀赢布
            || (player == 2 && computer == 0)) { // 布赢石头
        cout << "你赢了！" << endl;
    } else {
        cout << "你输了！" << endl;
    }

    return 0;
}

解析要点：

用 rand() % 3 生成 0、1、2 三个随机数，分别代表石头、剪刀、布；
胜负判断用逻辑或 || 列出玩家赢的三种情况，其余情况就是玩家输；
这是随机数 + 分支结构的经典综合应用，考试中常以"猜拳""掷骰子""抽奖"等形式出现。

🍎 生活比喻：srand(time(0)) 就像"洗牌"——只洗一次，然后一张张抽牌（rand()）。如果你每抽一张都重新洗一次（srand放循环里），因为洗得太快，牌还没变化，抽出来的都是同一张。

九、📊 考点总结表

考点	重要程度	出题形式
C++ `abs`（int）与 `fabs`（double）的区别	⭐⭐⭐⭐	选择/判断
`sqrt()` 返回 double、负数开方返回 `nan`	⭐⭐⭐⭐	选择/程序阅读
`max/min` 及 C++11 初始化列表	⭐⭐⭐	程序阅读/编程
`pow/ceil/floor` 及负数取整方向	⭐⭐⭐	选择/判断
`rand()`/`srand()`/`RAND_MAX`（32767）	⭐⭐⭐⭐⭐	选择/判断（必考）
`[a,b]` 随机整数公式 `rand()%(b-a+1)+a`	⭐⭐⭐⭐⭐	选择/编程（必考）
不播种每次结果相同、`srand(time(0))` 只写一次	⭐⭐⭐⭐⭐	选择/判断
掷骰子、猜数字等随机模拟编程	⭐⭐⭐⭐⭐	编程大题
用 `sqrt(n)` 优化质数判断	⭐⭐⭐⭐	编程大题

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┌─────────────────────────────────────────────────────┐
│  1. 整数绝对值 abs(x)，浮点绝对值 fabs(x)             │
│  2. sqrt(x) 返回 double，负数开方得 nan              │
│  3. max/min比大小，头文件algorithm                   │
│  4. C++11初始化列表：max({a,b,c}) 比三个数           │
│  5. pow(a,b)求幂，ceil向上取整，floor向下取整        │
│  6. 负数取整看数轴：ceil朝右(大)，floor朝左(小)      │
│  7. rand()返回0~RAND_MAX的伪随机整数                │
│  8. RAND_MAX至少32767，Dev-C++中就是32767            │
│  9. 不播种每次结果相同，种子相同序列相同             │
│ 10. srand(time(0))用时间播种，整个程序只调用一次     │
│ 11. srand放循环外，放循环里反而不随机                │
│ 12. [a,b]随机整数万能公式：rand()%(b-a+1) + a       │
│ 13. 骰子点数：rand()%6+1（1~6）                     │
│ 14. 0~99：rand()%100，1~100：rand()%100+1           │
│ 15. 质数判断优化：只需试除到sqrt(n)                  │
└─────────────────────────────────────────────────────┘

第9章 数学函数 ​

🎯 本章学习目标 ​

🗺️ 本章知识图谱 ​

📖 引言 ​

一、绝对值函数：abs 与 fabs ​

二、平方根函数：sqrt ​

三、最大值与最小值：max / min ​

四、幂运算与取整：pow、ceil、floor（了解） ​

五、随机数函数（重点🔥） ​

rand() 与 srand() ​

六、数学函数一览表 ⭐ ​

七、经典例题精讲 ​

例题 1：三数求最大最小 ​

例题 2：用 sqrt 判断质数 ​

例题 3：掷骰子模拟 ​

例题 4：猜数字游戏 ​

例题 5：两点间距离 ​

八、📝 实战练习 ​

练习题 1（单选题） ​

练习题 2（程序阅读题） ​

练习题 3（编程题） ​

练习题 4（编程题） ​

练习题 5（单选题） ​

练习题 6（判断题） ​

练习题 7（程序阅读题） ​

练习题 8（单选题） ​

九、📊 考点总结表 ​

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第9章数学函数

🎯 本章学习目标

🗺️ 本章知识图谱

📖 引言

一、绝对值函数：`abs` 与 `fabs`

二、平方根函数：`sqrt`

三、最大值与最小值：`max` / `min`

四、幂运算与取整：`pow`、`ceil`、`floor`（了解）

五、随机数函数（重点🔥）

`rand()` 与 `srand()`

六、数学函数一览表 ⭐

七、经典例题精讲

例题 1：三数求最大最小

例题 2：用 sqrt 判断质数

例题 3：掷骰子模拟

例题 4：猜数字游戏

例题 5：两点间距离

八、📝 实战练习

练习题 1（单选题）

练习题 2（程序阅读题）

练习题 3（编程题）

练习题 4（编程题）

练习题 5（单选题）

练习题 6（判断题）

练习题 7（程序阅读题）

练习题 8（单选题）

九、📊 考点总结表

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